בגרות 471: שאלות 7–8גיאומטריה 471 · שיעור 29
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות
שיעור 29: בגרות 471: שאלות 7–8
פרק 11 · שאלות בגרות
1קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון
2קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 – מעגל, מיתרים וחפיפה
3פתרון מלא, סעיף אחרי סעיף
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
משוואת המעגל: (x − 2)² + (y − 6)² = 100. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x ב־A
א. מצאו את שיעורי A
א. מצאו את שיעורי A
(x − 2)² + (0 − 6)² = 100
A על ציר ה־x: מציבים y = 0
(x − 2)² = 64 ⟹ x − 2 = ±8
מעבירים אגפים ושורש
x = 10 או x = −6
פותרים
A(10 , 0)
A על החלק החיובי של ציר ה־x
✅ פתרון סופי: A(10 , 0)
📐 כלל
נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
AB קוטר במעגל. דרך B העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x ב־C
ב. מצאו את משוואת המשיק BC
ב. מצאו את משוואת המשיק BC
2 = (10 + xB) : 2 , 6 = (0 + yB) : 2
M אמצע הקוטר AB
B(−6 , 12)
פותרים: xB = −6 , yB = 12
mMB = (12 − 6) : (−6 − 2) = −3/4
שיפוע
m · (−3/4) = −1 ⟹ m = 4/3
משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
y − 12 = 4/3 (x + 6) ⟹ y = 4/3 x + 20
משוואת ישר
✅ פתרון סופי: y = 4/3 x + 20
📐 נוסחה
אמצע קטע
x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
📐 נוסחה
שיפוע ישר דרך שתי נקודות
m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט
ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m₁ · m₂ = −1
📐 נוסחה
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y₁ = m(x − x₁)
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
ג. מצאו את אורך הצלע AC
0 = 4/3 x + 20 ⟹ x = −15 ← C(−15 , 0)
C על ציר ה־x: מציבים y = 0
AC = 10 − (−15) = 25
A ו־C על ציר ה־x
✅ פתרון סופי: AC = 25
📐 כלל
נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
D על המעגל כך ש־AB חוצה את ∢DAC
ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB
ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB
∢ADB = 90
זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB
∢ABC = 90
המשיק BC מאונך לרדיוס (הקוטר AB)
∢DAB = ∢BAC
AB חוצה את ∢DAC
△ABC ∼ △ADB
ז.ז (A ↔ A , B ↔ D , C ↔ B)
✅ פתרון סופי: ∢ADB = 90 , △ABC ∼ △ADB
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ה
ה. פי כמה גדול שטח △ABC משטח △ADB?
AB = 2R = 20
קוטר = שני רדיוסים
k = AC : AB = 25 : 20 = 1.25
היתר AC מתאים ליתר AB
S(ABC) : S(ADB) = 1.25² = 1.5625
יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
✅ פתרון סופי: פי 1.5625 (כלומר 25 : 16)
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 משפט
במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S₁ : S₂ = k²
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף א
מעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־y ב־A ו־D. המיתרים BD ו־AC נחתכים ב־E , ו־BD ∥ ציר ה־x
א. (1) הסבירו מדוע AB קוטר (2) הוכיחו: ∢CBD = ∢DAC
א. (1) הסבירו מדוע AB קוטר (2) הוכיחו: ∢CBD = ∢DAC
∢ADB = 90
AD על ציר ה־y ו־BD ∥ ציר ה־x – הצירים מאונכים
AB קוטר
זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
∢CBD ו־∢DAC נשענות על הקשת CD
∢CBD = ∢DAC
זוויות היקפיות על אותה קשת שוות
✅ פתרון סופי: AB קוטר , ∢CBD = ∢DAC
📐 משפט הפוך
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ב
נתון: BE = AE
ב. הוכיחו: △CBE ≅ △DAE
ב. הוכיחו: △CBE ≅ △DAE
BE = AE
נתון
∢CBE = ∢DAE
סעיף א (2)
∢BEC = ∢AED
זוויות קדקודיות
△CBE ≅ △DAE
ז.צ.ז (C ↔ D , B ↔ A , E ↔ E)
✅ פתרון סופי: △CBE ≅ △DAE
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: E(−7.5 , 10) , AE = 12.5
ג. מצאו את שיעורי B ו־A
ג. מצאו את שיעורי B ו־A
D(0 , 10) , ED = 7.5
BD אופקי דרך E , ו־D על ציר ה־y
AD² = AE² − ED² = 12.5² − 7.5² = 100
משפט פיתגורס ב־△AED (∢D = 90)
AD = 10 ← A(0 , 20)
שורש (אורך חיובי)
BE = AE = 12.5 ← xB = −7.5 − 12.5 = −20
נתון; B משמאל ל־E על אותו ישר אופקי
B(−20 , 10)
מסכמים
✅ פתרון סופי: B(−20 , 10) , A(0 , 20)
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ד
M מרכז המעגל
ד. מצאו את משוואת המעגל
ד. מצאו את משוואת המעגל
M = ((0 − 20) : 2 , (20 + 10) : 2) = (−10 , 15)
M אמצע הקוטר AB
R² = MA² = 10² + 5² = 125
מרחק בין שתי נקודות
(x + 10)² + (y − 15)² = 125
משוואת מעגל
✅ פתרון סופי: (x + 10)² + (y − 15)² = 125
📐 נוסחה
אמצע קטע
x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
📐 נוסחה
משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R
(x − a)² + (y − b)² = R²
בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ה
ה. (1) מהו אורך BC? נמקו (2) חשבו את היקף המרובע BCEM
BC = AD = 10
צלעות מתאימות במשולשים חופפים (סעיף ב)
CE = DE = 7.5
צלעות מתאימות במשולשים חופפים
EM = √(2.5² + 5²) = √31.25 ≈ 5.59
מרחק בין שתי נקודות
MB = R = √125 ≈ 11.18
רדיוס
P = 10 + 7.5 + 5.59 + 11.18 ≈ 34.27
היקף = סכום הצלעות
✅ פתרון סופי: BC = 10 , היקף BCEM ≈ 34.27
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
💡 זוויות היקפיות על אותה קשת – הדרך הכי מהירה לזוויות שוות לחפיפה ולדמיון.
בשיעור הבא: שתי שאלות הבגרות האחרונות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא